Тайная жизнь чисел - Страница 21

Сочетания с повторениями

Поэт, прозаик и — иногда — математик Раймон Кено (1903–1976), который войдет в историю как автор романа «Зази в метро» (а также текста одной из песен Жюльетт Греко), однажды вторгся в область комбинаторного анализа. До него этот же путь проделал Моцарт, однако Кено применил комбинаторику в поэзии, что на первый взгляд кажется непростой задачей. В коротенькой книжечке «Сто тысяч миллиардов стихотворений», состоящей всего из десяти страниц, на каждой из которых напечатано по одному сонету, он описал способ, позволяющий создать новые сонеты — очень современные, со множеством скрытых смыслов — на основе нескольких заранее приготовленных строчек. Для этого достаточно было взять по одной полной строчке из каждого сонета, уже напечатанного в книге. Общее число сочетаний, таким образом, равнялось 14 — более чем достаточно даже для самого плодовитого автора. Вооружившись калькулятором, нетрудно показать, что если мы будем составлять по одному стихотворению в минуту, то для того, чтобы записать их все, потребуется немногим меньше 200 миллионов лет.

Еще один способ применения комбинаторного анализа можно увидеть в прозе Артура Кларка, который был не только писателем, но и автором серьезных научных гипотез: в частности, он предложил разместить на орбите Земли искусственные геостационарные спутники, а также первым описал космический лифт. В рассказе «Девять миллиардов имен Бога» Кларк описывает компьютер, который печатает для монахов все возможные имена Бога, составляя их с помощью обычных перестановок. Монахи верят, что когда будут записаны все имена Бога, наступит конец света. Похоже, что это действительно так: пока компьютер закончит работу над задачей, мир успеет прекратить свое существование.

Взмахи крыльев бабочки

Чтобы понять, что такое эффект бабочки, сначала нужно объяснить, что такое хаос. В 1961 году метеоролог Эдвард Нортон Лоренц (1917–2008) построил динамическую систему, которую применил в качестве модели для прогнозирования погоды. Однажды (возможно, поленившись) он ввел в компьютер число 0,506 вместо 0,506127 и, к своему удивлению, обнаружил, что это небольшое отклонение входных данных приводило к значительным изменениям состояния динамической системы. Лоренц проверял полученный результат снова и снова и всякий раз получал столь же удивительные результаты. Так официально появилась на свет одна из самых изучаемых тем в теории хаоса.

Более подробные исследования помогли несколько упорядочить этот хаос. Выходные данные по-прежнему оставались хаотическими, однако, проследовав непредсказуемыми путями, они стремились к некоему итоговому множеству, словно испытывая к нему непреодолимое влечение.

Множество всех этих бесконечно больших итоговых значений называется аттрактором. Когда точка динамической системы движется беспорядочно, хаотически, ее «пунктом назначения» на бесконечности будет точка аттрактора. Хаотическая траектория в каждый момент времени является хаотической, однако на бесконечности, в пределе, который никогда не будет достигнут, она окончит свое существование в аттракторе.

Эта точка обладает, если можно так выразиться, неотразимой притягательностью. Лоренц первым проанализировал хаос метеорологических прогнозов и описал аттрактор — множество точек, по форме отдаленно напоминающее крылья бабочки. Разумеется, это множество является фрактальным, имеет размерность Хаусдорфа, равную 2,06 ± 0,01, и представляет собой настоящее геометрическое чудо.

Аттрактор Лоренца — трехмерное фрактальное множество, по форме напоминающее крылья бабочки.

Тот факт, что аттрактор напоминает крылья бабочки, пробудил воображение бесчисленного множества деятелей кино и литературы. Самым известным из них был, возможно, знаменитый писатель-фантаст Рэй Бредбери: в своем рассказе «И грянул гром» он описывает путешествие во времени, в ходе которого гибель одной доисторической бабочки приводит к значительным изменениям в современной политике — вместо либерального президента народ избирает ужасного диктатора-фашиста. Сложно найти более привлекательный образ: простой взмах крыльев бабочки в далеком прошлом способен определить настоящее, которое, как кажется, не имеет к этой бабочке никакого отношения. Динамические системы могут быть хаотическими, а небольшие предпосылки могут иметь огромные последствия. На небольших промежутках времени — ничто по сравнению с вечностью — предопределения не существует; хаос нависает грозной, бесконечно грозной тенью, которая не позволяет делать какие-либо прогнозы. На длительных промежутках времени наблюдается аттрактор, существующий необъяснимо далеко, в пределе, на границе бесконечности.

Лучшее — враг хорошего

Для чистокровного демократа из тех, что голосуют по любому поводу и верят, что их голос поможет изменить положение в обществе, идеалом является совершенная система голосования, удовлетворяющая определенным требованиям. Известны множество систем голосования (например, в Испании применяется метод д’Ондта), однако должна же существовать некая суперсистема, которая будет лучшей среди них. Ее предполагаемые характеристики, снабженные обширными комментариями, можно найти в интернете. Так как подробные описания различных систем голосования слишком объемны и скучны, не будем приводить их полностью. Ограничимся следующим указанием: идеальная система голосования, позволяющая принять общее решение на основе предпочтений отдельных лиц, должна соответствовать пяти разумным требованиям.